王燕兵

江西省南城县第一中学 344700

摘要：数形结合就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。

关键词： 数学结合  数学教学   思想方法

下面谈一谈数形结合的几种常见类型。

一、由数想形，直观显现高 考 资 源 网

例1、设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m ＋15}  (m∈Z)，C＝{(x,y)|x ＋y ≤144}，讨论是否存在a，b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。

分析：集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n ＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n ＋15上，且直线与圆x ＋y ＝144有公共点，但原点到直线L的距离≥12。

解：由A∩B≠φ得：na＋b＝3n ＋15 ;

设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n ＋15上，且直线与圆x ＋y ＝144有公共点，

所以圆心到直线距离

∵ n为整数   ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。

评注：集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。

例2、如果复数 满足 ，那么 的最小值为（　　）．

 

解析：由 知，复数 对应的点的轨迹是线段 ，其中 ， ．

　　又 表示点 到线段 上点的距离，故当 时， ．所以选（Ａ）．

二、由数构形，变抽象为形象

例3、一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具先后抛掷两次，试问：

　　（1）向上的数字之和为5的概率是多少？

　　（2）向上的数字之和至少是9的概率是多少？

　　（3）向上的数字之和为多少时的概率最大？

　　分析：将正方体玩具先后抛掷两次可能出现36种结果，用如图所示的图表表示出来，则所有的结果便尽收眼底，一目了然．

第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。将“数”转与“形”，巧妙地将抽象思维切入到形象思维之中，反过来，形象思维在抽象思维的支撑下，使数学问题的解决直观却不失周密性。

 

　　解：将正方体玩具抛掷一次，它落地时向上的数字有1，2，3，4，5，6这六种结果，因此，先后将这些玩具抛掷两次，一共有6×6＝36种不同的结果．

　　（1）由图表可知，向上的数字之和为5的结果有（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1）四种，其中括号内的两个数字分别为第一、第二次向上的数字，所以向上的数字之和为5的概率是 ．

　　（2）由图表可知，向上的数字之和至少是9的结果有（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6）十种，所以向上的数字之和至少是9的概率是 ．

（3）由图表可知，向上的数字之和出现最多的数为7（一共出现了6次），故向上的数字之和为7的概率最大，最大概率为 ．

三、用“数”说“形”

例4、已知曲线 ： ，曲线 ： ，试判断曲线 与曲线 的交点个数.

分析：因较难准确作出曲线 的图象，因此通过直接观察 与 的图象而判断交点个数是难以解决的.由 ，得 ，两边除以 ，使方程的一边得到简化，得 .联想指数函数的单调性即易得解.

解：由 ，得 .

两边同除以 ，得 .

∵ 与 在R上均是减函数，

∴ 在R上是减函数.则 至多有一解.

又 ，∴ 有且只有一解为 

评注：本题是一个有关“形”的问题，通过代数变换，即用“数”的方法，说明了“形”的道理.当然为使“数”具备较强的说服力，还可再用“形”辅助说明（函数 的图象如图所示）.

四、数形对照，相互渗透

例5、已知不等式 在 时恒成立，则 的取值范围是（　）

Ａ． 　　Ｂ． 　　Ｃ． 　　Ｄ． 

分析：可以将问题转化成一个一元二次函数 和一个对数函数 ，通过勾画两个函数的图象来观察的寻找满足条件的变量 的取值范围。解：令 ， ，画出这两个函数在 上的图象。

通过作草图当 时，绝对不可能有当 时，而函数 的图象在函数 的图象的下方。只有当 才可能达到，如图。

那么， ，即 

所以， ，故选Ｂ

例6、试就实数 的取值情况，讨论关于 的方程 的解的个数.

 

解：令 和 ，在同一坐标系中作出它们的函数图象.

由图可知，

当 ≥1或 时，两图象只有一个交点，原方程有惟一解；

当 时，两图象有两个不同的交点，原方程有两解；

当 时，两图象无交点，原方程无解.

评注：讨论有关方程根的个数问题时，通常把方程问题转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决.在设函数时，一般一个函数中不含参数，另一个函数中含有参数（如本题中 不含参数 ，函数 中含有参数 ），进而观察函数图象在运动过程中交点的变化情况.

总之，数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。将“数”转与“形”，巧妙地将抽象思维切入到形象思维之中。