摘要：不采用x作为自变量而采用间接参数t作插值函数，计算型值点权重，得到一种新的插值方法, WXL插值样条，由连续4个型值点得出中间一段唯一的插值结果，型值点不受单调增加限制，插值通过给定型值点且一阶导数连续，平面上4个型值点循环插值可以得到一光滑椭圆形曲线，在水轮机等效率曲线绘制使用得到比较理想的效果。
关键词：分段插值；通过型值点； 一阶导数连续；新插值样条；光滑连续曲线；绘制特性曲线
0 引言
在水轮机能量性能试验中，要通过计算机自动绘制出等效率曲线及其他性能曲线。通过试验可以得到一系列等效率点数据，绘成曲线有的是开放的有的是闭合的。对于绘制闭合曲线的基本要求是：
0.1 插值点通过所有给定的型值点，在型值点处不产生误差；
0.2 型值点不受单调增减的限制，可以形成闭合曲线；
0.3 一阶导数连续，保证曲线的光滑性。
0.4 曲线的凹凸性符合型值点趋向。
在插值计算中，有多种方法[1]，如多项式插值、Hermite插值[2]、样条插值、有理B样条插值等，都采用x作为自变量进行计算，采用函数就会遇到自变量x单调增加或单调减少的限制，有时不得不采用分段进行插值。现在常用的Hermite 三次样条可以进行开放曲线的插值，但受到单调增减的限制；有理B样条插值，可以得到光滑的曲线，但不是每个型值点都通过。有许多文献介绍了不同的插值方法，但得到的曲线形状都不是太理想。基于以上要求和现行的插值方法，希望从不同的角度找出一种新插值方法，以满足要求，且不需要太大的计算量。
1 新插值样条-WXL插值样条
1.1 采用样条进行插值，且自变量不是x，而是采用间接变量t，[0≤t≤1]，给出t的插值函数，对插值点的x 和y分别计算出各型值点的x和y的权重，得到所插点的x和y值。
1.2 给定4个连续型值点，确定中间一段插值，该段插值与其他点无关。
1.3 满足引言中提到的4项基本要求。
通过长时间（从1996年开始考虑）的探讨和改进，终于找到了一种间接插值函数。
给定点: P(i)= [X(i),Y(i)]，i=1,2,3….
插值点：SP(i)= [SX(i),SY(i)]，i=,2,3…S
SX(i)为点P(i+1)到点P(i+2)之间的X插值;
SY(i)为点P(i+1)到点P(i+2)之间的Y插值。
插值函数表达式为：
SX(i)= * X(i) ，i=1,2,3,4。…………………..（1）
SY(i)= * Y(i)，i=1,2,3,4。 …………………..（2）
其中Ri为插值因子函数，是WXL插值样条的关键。
Ri=fi(t), i=1,2,3,4。
对于X和Y都采用相同的插值fi(t)。
具体的插值函数fi(t)的表达式暂不列出。给出Ri随t的变化规律见图1 。
图 1 Ri/Rimax 随T的变化规律
2 WXL插值样条的使用
给定M个型值点P(i)后，用WXL插值样条进行插值计算时，由于是每4个型值点确定中间一段插值，插值段数比给定的型值点数少两个，还需求补充两个边界条件才能完成整个曲线插值。遇到的两种情况，采用不同的处理方法。
2.1 给出的型值点要求完成的插值曲线是开放式的。将给定的M个型值点的第一个和最后一个进行双重处
2.2 理，得到(M+2)个型值点，进行插值后得到M段插值，完成整个插值曲线。
即：给定的型值点为：
P[X(0),Y(0)], P[X(1),Y(1)], P[X(2),Y(2)] ,… P[X(i),Y(i)], …
P[X(M),Y(M)]。共M个点。经以上处理后变为：
P[X(0),Y(0)]，P[X(0),Y(0)]， P[X(1),Y(1)]，P[X(2),Y(2)]，… P[X(i),Y(i)] ,… P [X(M),Y(M)], P [X(M),Y(M)]。共(M+2)个点。
2.3 给出的型值点要求完成的插值曲线是闭合式的。在给定的M个型值点的第一个之前加进最后一个型值点；在最后一个之后加进第一个型值点，得到(M+2)个型值点，进行插值后得到M段插值的闭合曲线。给定的型值点为：
P[X(0),Y(0)], P[X(1),Y(1)], P[X(2),Y(2)] ,… P[X(i),Y(i)], …
P[X(M),Y(M)]。共M个点。经处理后变为：
P [X(M),Y(M)]，P[X(0),Y(0)]， P[X(1),Y(1)]，P[X(2),Y(2)]，… P[X(i),Y(i)] ,… P [X(M),Y(M)], P[X(0),Y(0)]。共(M+2)个点。
3 WXL插值样条的性质
3.1 连续性
插值因子函数Ri=fi(t), i=1,2,3,4。为连续函数，改变间接变量t的步长可以得到所需要的插值点数。
3.2 过型值点
从插值因子值表1可以得出，在某一插值段插值结束时，即t=1时，R3=1，其他因子值均为0，插值为该段第三点的值；而在随后的插值段值插开始时，即t=0时，R2=1，其他因子值均为0，插值为第二点的值，也就是上段第三点的值，插值通过该点。
3.3 唯一性
4个型值点确定唯一一段（中间两点之间）插值，无论插如多少点，曲线形状不变。
3.4 很强的外凸性
通过插值的图形可以看出图形有很强的外凸性，这对单调曲线插值不利， 但在作逼近（用梯形面代替积分）计算时有利。
3.5 权性
满足 =1。
图2显示的是平面上4点，P1(4,3), P2(-4,3), P3(-4,-3), P4(4,-3),通过插值（插入9个点，本文所有插图都是按9个点插值给出）计算后的椭圆图形。
图2 4个型值点插值后的椭圆图形
3.6 一阶导数连续
分别对函数表达式（1）和（2）对自变量t进行求导，即分别对插值因子函数Ri对t进行求导，得到一阶导数：
y/= SY/ (i)t/ SX/ (i)t ，i=1,2,3,4。...（3）
表2给出根据插值因子函数fi(t)的一阶导数计算出的导数插值因子（每段插值3个点， t的步长为0.25，保留4位小数）。
表2 步长为0.25的导数插值因子值
|
T
|
0
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0.25
|
0.5
|
0.75
|
1.0
|
|
R1/t
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-0.5000
|
-0.1084
|
0.1465
|
0.1622
|
0.0000
|
|
R2/t
|
0.0000
|
-0.5449
|
-0.8536
|
-0.8155
|
-0.5000
|
|
R3/t
|
0.5000
|
0.8155
|
0.8536
|
0.5449
|
0.0000
|
|
R4/t
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0.0000
|
-0.1622
|
-0.1465
|
0.1084
|
0.5000
|
通过计算可得，在某一插值段插值结束时，即t=1时，左导数与随后的插值段值插开始时，即t=0时，右导数相等，斜率值为该点的前后两点的y增量与x增量之比。这个导数值是插值方法所希望得到的值。
3.7 插值不越界
计算可得，结合在型值点的导数性质，可得由P1(-8,-4),P2(-6,0),P3(2,1),P4(4,-2)所确定的插值P2到P3段，插值点都处于过P2点的直线（斜率与P1和P3连线相同）与过P3点的直线（斜率与P2和P4连线相同）相交点及P2、P3点所形成的区域内。见图3。该性质保证插值结果的稳定性，不会造成插值超差。
图3 插值点在固定区域内。
3.8 与插值方向无关
给定一系列的型值点，从开始到结尾插值或从结尾到开始点插值，得到的结果完全相同，得到的是唯一的一条插值曲线。
3.9 二阶导数不连续
仿照一阶导数的方法求出二阶导数的插值函数，计算出二阶导数值，在型值点处左右导数不同，即二阶导数在型值点处不连续。中间插值二阶导数是连续的。
3.10 几何不变性
平移或旋转型值点后，得到的图形形状不变，与坐标系的选择无关。
图4 显示平面4点，P1(-5,-3), P2(0,6), P3(5,3), P4(0,-0),经过45°旋转后再平移10，前后形状对比，图形本身形状不变。
图4 图形几何形状保持不变
3.11 直线保持性
给定的4个型值点共线，插值段也保持共线。
3.12 多维插值性
由于是通过间接变量t进行计算，可以同时对多维参数进行插值。例如在水轮机模型试验中，同一工况点有单位转速、单位流量、单位功率、效率等多个参数，要求出在某一效率下的其他参数值，只要把该效率值所对应的某插值段的t值求出，就可以按该t值计算出其他所有参数的对应值，不用像以往分别进行效率对各个参数的插值计算。
4 插值结果图形分析
4.1 平面4点循环插值图形与椭圆线的比较
4.1.1 图2中所得到的插值点与对应椭圆公式（x2/5.58722+y2/4.24262=1）的计算点完全相同，并保持椭圆长短轴的坐标方向相同。
4.1.2 计算各点的一阶导数与根据椭圆公式求导所得的导数值也完全相同。
4.1.3 但是若增加型值点数（在椭圆线上的点），得出的插值点值和一阶导数值就不完全与公司计算的相同了，在t=0.5时偏差最大。图5 显示在半个椭圆上4个型值点插值后的曲线与椭圆线的对比。
图5 半椭圆插值（4点）与椭圆线比较
4.2 与Hermite 三次样条比较
Hermite三次样条在现行的插值领域已经得到广泛的使用，但使用中受到一些限制。
4.2.1 Hermite三次样条每段都是一元三次函数，型值点必须是单调增减（或减少），否则计算出错，遇到型值点返回时，只能采用分段进
4.2.2 行，这样在分段点处导数就不连续了。而WXL插值样条是采用间接变量t作自变量，分别对x、y进行计算，型值点可以任意增减。
4.2.3 Hermite三次样条在给定的型值点较多时，计算量很大，但现在计算机的发展，这个问题已经不困难了。而WXL插值样条计算量很小，每4个点确定一段插值，计算量不随型值点的增加而增加。
4.2.4 在型值点出Hermite三次样条二阶导数连续，而WXL插值样条不连续，但有很强的外凸性。
4.2.5 Hermite三次样条有时会产生插值越界现象，这对插值计算和不利，越界现象出现的规律还不好掌握，而WXL插值样条没有越界现象，插值稳定，是比较理想的。
4.3 与有理B样条比较
在AUTOCAD[3]和Excel中都采用有理B样条，通过控制偏差进行逼近和拟合，优点是曲线光滑，不受型值点单调增减限制，不会产生插值越界现象，缺点是除开始和结尾两点外其他点有微小偏差，在中间的插值偏小。取单位圆上的4个坐标轴点，分别用AUTOCAD的“Spline”拟合和用WXL插值样条插值，两者比较可以看出，WXL插值样条与单位圆完全重合，“Spline”拟合的曲线在两点中间产生偏差，其值与圆的半径之比为0.0173。图6表示对比结果。
图6 “Spline”拟合线与WXL插值样条线
5 绘制水轮机等效率曲线
在水轮机模型试验中，等效率曲线是很重要的，等效率线的绘制是将某一等效率值下的一系列工况点（即对应各个导叶开度下的单位流量和单位转速值）光滑连成曲线。效率的综合误差一般为0.25%，等效率线拟合时方法不当，造成的偏差有时会大于综合误差。现大多采用Hermite三次样条分段进行，得到的结果不是非常理想。图7是某混流式转轮用现行方法绘制的的等效率曲线。
图7 一混流式转轮等效率曲线
采用WXL样条对中心三条等效率线进行插值，得到结果见图8 。
图8 WXL样条等效率线
从插值曲线结果可以看出，在每段的插值点都有外凸的趋向，使得曲线不是很光滑，但总体效果还是比较理想的。
6 在其他领域的使用
由于WXL插值样条不受型值点走向的限制，曲线光滑连续，在绘制地图等高线[4]，计算机图形仿真，断面近似逼近计算[5]等都可以采用，相信可以得到比较理想的结果。
7 结语
采用间接变量计算4点权重进行插值计算的WXL插值样条，不受型值点单调增减的限制，具有良好的光滑连续等优良特性，在水轮机综合特性曲线绘制使用效果理想，可以在许多需要插值计算领域推广采用。
[参考文献]
[1]作者： wt，chapter3-34_2004，B样条曲线与曲面，清华大学，计算机图形学。
[2]谢进，有理三次Hermite插值样条几千逼近性质， 工程数学学报，2011年03期。
[3]仇建飞，AutoCADVBA编程实现样条曲线拟合函数曲线，职大学报，2005年第4期。
[4]王建雄，B-样条函数在地形图绘制中的应用，四川测绘，1994年02期。
[5]韩继伟，不同插值方法绘制断面图效果分析，JOURNAL OF CHINA HYDROLOGY，2012年2月。
作者简介: 王修礼，1958.03-，男，学士，高级工程师，国家能源中小水电设备重点试验室常务副主任。1981年12月毕业于甘肃工业大学后，一直在天津电气出的设计研究所工作，从事于水轮机转轮性能研究，行业标准制定，水电站成套设备供货和水电设备试验检测。
