龚友运

广州商学院 广东广州 511363

 

摘要：本文本着“数学为体，经济为用”的原则，结合经济管理类各专业的实际，通过实例讨论概率统计在经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润、经济保险、经济预测等经济学问题中的应用。

关键词：概率统计；经济学；应用；经济分析

随着现代科学的发展，人们越来越多地认识到，一种科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步，经济学也不例外。数学能为经济学提供特有的、严密的分析方法；经济学的发展离不开数学，因为数学方法能使经济学研究理论的表述更清晰准确，逻辑推理更严密。

当代西方经济学家认为，经济学研究的基本方法是从经济问题的实际出发建立相应的经济数学模型，然后运用数学的理论和方法求解模型，进而形成经济理论，再在实践中验证理论，并利用它来指导经济运作。经济的数学化已成为不可阻挡的潮流，概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学；全球性的经济环境中最成功的管理者和决策者是那些能够理解和有效运用概率与统计信息的人。

近十几年来,由于经济的快速发展，日常生活中的金融学、保险学等经济学分支学科越来越普遍地应用数学。甚至可以说，当代实证经济学的发展就是概率统计知识在经济模型中的实际应用。

一、投资风险问题

投资项目风险的类型是多种多样的，同时针对不同类型的风险其管理技术和处置方法也可能不尽相同，即使相同的风险管理技术和处置方法对于不同类型的风险的管理效果可能也不尽相同。在投资环境日趋复杂的现代社会，几乎所有的投资都在风险和不确定情况下进行。一般地说，投资者常常希望选择最佳的风险管理组合方案力求回避风险或使风险损失降至最低。 

问题1 最低投资风险问题

在资本市场中，某投资者用1元钱进行投资，有三个投资方案，分别记为 、

 、 ，（其中方案三为 投资资产一和 投资资产二），这三个方案的投资收益均受市场条件的影响，而市场条件为看好、一般、看跌，分别记为 、 、 ,并知其发生的概率均等。据分析，各资产在市场的三个不同条件下的投资收益如下表所示：

    市场条件

资 产 （看好）

 （一般）

 （看跌）

 

 

 

 

 

 （投资资产一）

1.16 1.10 1.04

 （投资资产二）

1.01 1.10 1.19

 （投资方案三）

1.10 1.10 1.10

 

试分析哪个方案最佳？

解 设三个方案的投资收益的随机变量分别为 、 、 ,计算各方案的期望收益并进行比较，

 ，

 ，

 ；

通过计算可知，三个方案的期望收益是相同的，均为 元。但要注意的是：实际收益并不等同于期望收益。两者之间的偏差越大，则投资者得到期望收益的可能性就越小，这意味着其风险就越大。 三个方案的方差分别是

通过计算可知，虽然三个方案的期望收益是相同的，但方案三中的实际收益与期望收益的平均偏离程度为0，故投资方案三为最佳方案。

由此可见，在证券市场中，常常通过投资组合来降低投资风险。

问题2 防范金融风险问题

设某公司拥有三种获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分别为0.8、0.6、0.5，求(1)任两种股票至少有一种获利的概率；(2)三种股票至少有一种股票获利的概率。

解 设 分别表示三种股票获利，依题意 相互独立。 ,  , ,则由乘法公式与加法公式：

(1) 任两种股票至少有一种获利（等价于三种股票至少有两种获利）的概率:

  

 

 

(2) 三种股票至少有一种股票获利的概率：

 

 

 。

计算结果表明：投资于多种股票获利的概率大于投资于单种股票获利的概率，这就是投资决策中分散风险的一种策略。

问题1中，期望值是一个概率分布中的所有可能结果以其概率为权数进行加权平均的加权平均数，反映事件的集中趋势。其计算公式为  ，其中 表示第 i 种结果出现的预期收益(或预期收益率)； 表示第 i 种结果出现的概率；n 表示所有可能结果的数目。

问题3 投资风险分析

某公司拟对外投资，现有 A 公司、 B 公司和 C 公司有关股票收益与概率分布资料如下表。

经济情况  

 

 

 

 

繁荣

一般

衰退 0.2

0.6

0.2 50

20

-10 80

20

-40 60

25

-10

 

根据上述期望值公式计算 A、B、C 公司的预期收益率： ，  ，  。试给出投资风险分析。

分析 在预期收益率相同的情况下，投资的风险程度同收益的概率分布有密切的联系。A、B 公司的预期收益率都是20％，但相比之下可以发现 B 公司的预期收益率较分散，而 A 公司的预期收益率较集中，于是可以认为 A 公司的投资风险要比 B 公司小。由此可知：预期收益的概率分布越狭窄，其投资风险越小，反之亦然，通常由概率分布图进行分析。

标准差 是各种可能的收益（或收益率)偏离期望收益(或收益率)的综合差异，是反映偏离程度的一种度量。其计算公式为：  其中，  表示期望收益率的标准差；  表示期望收益值。在期望值相等的情况下，标准差越大，表明风险越大；这里有

因此，在期望收益率均为20％的条件下，A 公司股票的风险程度小于 B 公司股票的风险程度，应选择 A 股票。

二、管理决策问题

正态分布在经济管理中应用广泛。当建立了某个应用问题的概率分布为正态分布以后，就可以得到有关问题的概率信息，这些信息可以帮助决策者制定出比较合理的决策。

问题4 轮胎的保证行驶里程问题

某公司研制出一种新式轮胎，这种轮胎将在全国的连锁商店销售。由于这种轮胎是一种新产品，所以，该公司认为新轮胎的行驶里程是保证其被市场接受的一个重要因素。在测试中，平均行驶里程是 英里，标准差 英里。另外，收集到的数据还表明这种轮胎的行驶里程服从正态分布。那么，该公司将提供一项质量保证：“如果轮胎没有超过指定的行驶里程，公司保证调换轮胎时给予打折”。但该公司希望调换时给予打折的轮胎数不超过10％，则应该保证的行驶里程是多少?

分析 该问题可以用正态分布进行分析。记行驶里程的平均值是 英里，指定的保证行驶里程为随机变量 英里，则应有

查标准正态概率分布表可知， ，于是有

从而有

即 对应于该公司的轮胎正态分布所要求的保证里程。因此，保证行驶 英里符合要求，即此时有不超过10％的轮胎达不到指定的行程里程。依此信息，公司可以将轮胎的保证行驶里程定为 英里。

问题5 如何确定投资决策方向?

某人现有10万元现金,想投资于某项目, 为期一年。估计成功的机会为 , 并可获利8万元, 失败的机会为 , 将损失2万元。 若存入银行,同期间的利率为 , 哪一种方案可使投资的效益较大?

解 设 为投资利润, 则

 

8     -2

 

0.3   0.7

 

 ,存入银行的利息: ；

故应选择投资。

三、保险问题

保险公司常常为多个企业、单位和个人提供各种各样的保险保障服务，人们也总会预算某一业务对自己的利益到底有多大，有时也会考虑保险公司的大量赔偿是否会亏本等问题。

问题6 人寿保险问题

某保险公司里，有2 500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。据统计，在同一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日付12元保险费给保险公司，而在死亡时家属可向保险公司领取2 000元，问：（1）“保险公司亏本”的概率是多少？（2）“保险公司获利不少于10 000元和20 000元”的概率分别是多少？

解 设  ={保险公司亏本}，  ={保险公司获利不少于10 000元}， ={保险公司获利不少于20 000元}。

（1）根据题设，保险公司的盈亏以“年”为单位进行分析。于是，在某年的1月1日，保险公司的收入为

           元，

若这一年中死亡 人，则保险公司应该付出 元，如果 （即 ），则保险公司亏本。

由于2 500人中死亡的人数 ，再利用泊松分布近似可得

     

  。

    由此可见，在一年中保险公司亏本的概率是非常小的。

（2）“保险公司获利不少于10 000元”意味着

 （即 ），

故    ；

类似地，可得   。

    经上述计算可知一个保险公司亏本的概率几乎为0，而获利的概率较大，此结果正好说明了为什么“保险公司乐意开展保险业务”的原因，当然要以“同一年中每个人死亡率的估计正确”为前提。

利用中心极限定理也可以说明这一问题。

利用切比雪夫大数法则可以说明，在参保人的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保险费与其所能获得赔款的期望值是相等的。这个结论反过来，则说明保险人应如何收取纯保费。

四、最大经济利润问题

如何获得最大利润是商界永远追求的目标，随机变量的期望的应用为该问题的解决提供了新的思路。

随着经济学的发展，用概率统计思想来分析和求解问题已成为对各经济领域进行研究，从而获得最佳解决方案的必要手段。如经济指标分析、金融市场风险评估、效益的合理分配、生产成本控制等。但对待经济学中数学方法的应用，既不能只研究定性问题，一概排斥数量分析的方法，也不能只用一大串数学公式去推导。经济学的发展表明，数学方法是经济学蓬勃发展的重要推动力，只有合理地运用数学方法，科学地使数学与经济学完美结合，才能使二者相得益彰，共同发展。

【参考文献】

[1] 周富臣等《常用数理统计方法及应用实例》北京：中国计量出版社 2006年11月；

[2] 叶子祥等《经济应用数学》武汉：武汉大学出版社 2008年4月；

[3] 龚友运等《概率与统计》(第2版)武汉：华中科技大学出版社，2009年11月.